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15.7 : Intégrales triples en coordonnées cylindriques et sphériques - Mathématiques


Parfois, vous devrez peut-être calculer le volume de formes qui ont des formes cylindriques, coniques ou sphériques et plutôt que d'évaluer de telles intégrales triples en coordonnées cartésiennes, vous pouvez simplifier les intégrales en transformant les coordonnées en coordonnées cylindriques ou sphériques. Pour ce sujet, nous allons apprendre à faire de telles transformations puis évaluer les intégrales triples.

Introduction

Comme vous l'avez appris dans Intégrales triples en coordonnées rectangulaires, les intégrales triples ont trois composants, traditionnellement appelés X, oui, et z. Lors de la transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées cylindriques ou sphériques ou vice versa, vous devez convertir chaque composant en son composant correspondant dans l'autre système de coordonnées.

Il y a trois systèmes de coordonnées que nous allons considérer. Le premier est le traditionnel X, oui, et z système également connu sous le nom de coordonnées cartésiennes du système; les deux autres sont explorés ci-dessous.

Conversion en coordonnées cylindriques

Le deuxième ensemble de coordonnées est connu sous le nom de coordonnées cylindriques. Travailler en coordonnées cylindriques est essentiellement le même que travailler en coordonnées polaires en deux dimensions, sauf que nous devons tenir compte de la z-composant du système. Lors de la transformation du cartésien au cylindrique, X et oui deviennent leurs homologues polaires. Rappelons que (x=r*cos heta), (y=r*sin heta), (r^2=x^2+y^2) et (tan heta= dfrac{y}{x}). Maintenant, la conversion pour z est simplement (z=z). (r) et ( heta) créent un plan parallèle au xy-plan, et en ajoutant le z composant donne simplement à l'avion une "hauteur".

Maintenant, disons que nous avons l'équation (r=1) pour (0leq heta<2pi). En deux dimensions, cela nous donnerait simplement un cercle centré en ((0,0)) avec un rayon de 1. En ajoutant le z-axe, le cercle a une hauteur de z, ce qui lui donne la forme d'un cylindre, d'où le nom de coordonnées cylindriques.

Comme on le voit dans les intégrales doubles sous forme polaire, lors de la conversion d'une intégrale double de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, le terme (dA), (dx,dy) en cartésien est converti en son équivalent polaire.

[iint_{D}f(x,y) dxdxy Rightarrow iint_{D}f(rcos heta ,rsin heta) rd,r,d heta]

La même conversion se produit avec les intégrales triples de cartésien à cylindrique pour le terme (dV), sauf que vous devez tenir compte de l'axe z avec un terme (dz).

[iiint_{D}f(x,y,z) dxdydz Rightarrow iiint_{D}f(rcos heta ,rsin heta ,z) r,dr,d heta ; dz]

Exemple (PageIndex{1}) : Utilisation de coordonnées cylindriques

Convertissez cette triple intégrale en coordonnées cylindriques et évaluez

[int_{-1}^{1}int_{0}^{sqrt{1-x^2}}int_{0}^{y}x^2dz; dy; dx onuméro]

Solution

Il y a trois étapes qui doivent être effectuées afin de convertir correctement une triple intégrale en coordonnées cylindriques.

Tout d'abord, nous devons convertir les bornes de cartésiennes à cylindriques. En regardant l'ordre d'intégration, nous savons que les bornes ressemblent vraiment à

[int_{x=-1}^{x=1}int_{y=0}^{y=sqrt{1-x^2}}int_{z=0}^{z=y} pas de numéro ]

En utilisant les conversions cartésiennes en cylindriques, nous voyons que les nouvelles bornes sont

[int_{x=-1}^{x=1}int_{y=0}^{y=sqrt{1-x^2}}int_{z=0}^{z=y} Rightarrow int_{ heta=0}^{ heta=pi}int_{r=0}^{r=1}int_{z=0}^{z=rsin heta} onumber ]

Ensuite, nous convertissons l'intégrande en son équivalent cylindrique

[x^2 Rightarrow r^2cos heta onumber ]

Troisièmement, nous convertissons les différentielles à la fin de l'intégrale en leur équivalent cylindrique en prenant soin de désigner le bon ordre d'intégration

[dz,dy,dx Rightarrow r, dz, dr, d heta onumber ]

Enfin, nous assemblons le tout et nous avons notre intégrale nouvellement convertie de manière cylindrique

[int_{0}^{pi}int_{0}^{1}int_{0}^{r sin heta}r^2cos^2 heta r,dz ,dr , d heta onumber ]

Maintenant, nous évaluons en fait l'intégrale

[egin{align} &int_{0}^{pi}int_{0}^{1}int_{0}^{rsin heta}r^3cos^2 heta dz , dr, d heta onumber &= int_{0}^{pi}int_{0}^{1} left [r^3 cos^2 heta*z ight] _{z=0}^{z=rsin heta} dr, d heta onumber &= int_{0}^{pi}int_{0}^{1} r^4 cos^2 heta sin , heta dr, d heta onumber &= int_{0}^{pi} left[dfrac{r^5}{5}cos^ 2 heta sin heta ight]_{r=0}^{r=1} d heta onumber &= dfrac{1}{5}int_{0}^{pi}cos ^2 heta sin heta d heta onumber end{align}]

En utilisant la substitution u, nous trouvons que l'intégrande (cos^2 heta sin heta) s'intègre à

[dfrac{1}{5} left[-dfrac{1}{3}cos^3 heta ight]_{ heta=0}^{ heta=pi} onumber ]

Qui évalue à

[dfrac{1}{5} left[-dfrac{1}{3}cos^3(pi)+dfrac{1}{3}cos^3(0) ight] = dfrac{2}{15} onuméro ]

Conversion en coordonnées sphériques

La figure 1 montre une représentation visuelle des coordonnées sphériques. On définit ( ho) comme la distance de l'origine au point (P). Le point (P) et l'origine créent un segment de droite que nous appellerons (ar{OP}), (O) étant l'origine. ( heta) est l'angle dans le x-y plan à partir de la projection de (ar{OP}), qui est représenté par (ar{OQ}). (phi) est l'angle entre le z-axis et (ar{OP}).

Figure (PageIndex{1}) : Coordonnées sphériques (Duane Q. Nykamp) / CC BY-NC-SA 3.0

Les conversions de cartésien en sphérique sont les suivantes

Tout comme (r=sqrt{x^2+y^2}), ( ho=sqrt{x^2+y^2+z^2}) et comme avec cylindrique, ( theta=tan^{-1}(dfrac{y}{x}))

Figure (PageIndex{2}) : Coordonnées sphériques (Duane Q. Nykamp) / CC BY-NC-SA 3.0

Comme vous pouvez le voir sur la figure 2, (r= ho sinphi), et en utilisant cette relation et d'autres relations trigonométriques visibles ici, nous pouvons trouver des conversions pour x, y, et z.

X et oui ressemblent à leurs homologues cylindriques; cependant (r) est remplacé par ( ho sinphi). Donc (x= ho sinphi cos heta) et (y= ho sinphi sin heta). Aussi, d'après les diagrammes, nous voyons que (z= ho cosphi).

Quant au terme (dV) d'une triple intégrale, converti en coordonnées sphériques, il devient (dV= ho^2 sinphi d ho dphi d heta).

Exemple (PageIndex{2}) : Utilisation de coordonnées sphériques

Nous allons trouver le volume entre la sphère ( ho=cosphi) et l'hémisphère ( ho=6). Un diagramme des formes est sur la droite.

Solution

Tout d'abord, nous devons mettre en place une intégrale pour calculer le volume:

[V=int_{ heta_0}^{ heta_1}int_{phi_0}^{phi_1}int_{ ho_0}^{ ho_1}dV]

Nous remplaçons maintenant le terme (dV) et remplissons les bornes d'intégration :

[V=int_{ heta_0=0}^{ heta_1=2pi}int_{phi_0=0}^{phi_1=dfrac{pi}{2}}int_{ ho_0= cosphi}^{ ho_1=6} ho^2 sinphi d ho dphi d heta]

De là, nous évaluons l'intégrale:

[egin{align} V&=dfrac{1}{3}int_{0}^{2pi}int_{0}^{dfrac{pi}{2}} left(216- cos^3phi ight) sin phi dphi d heta & =dfrac{1}{3}int_{0}^{2pi}[-216 cosphi+dfrac { cos^4phi}{4}]^{dfrac{pi}{2}}_{0} d heta & =dfrac{1}{3}int_{0}^{ 2pi} left(216-dfrac{1}{4} ight) d heta & dfrac{863}{4}(2pi) & dfrac{863pi}{ 2} end{align}]

Exemple (PageIndex{3})

Michael veut manger un bol de céréales Fruity Hoops. Cependant, il doit aller au magasin et acheter du lait pour ses céréales, et il n'est pas sûr de la quantité de lait à acheter. Il a besoin de votre aide pour décider du montant approprié à acheter. Le volume de son bol de céréales peut être représenté par la région délimitée en bas par ( ho=4cosphi) et délimitée en haut par (z=4). À l'aide de ces informations, trouvez la quantité de lait dont Michael aura besoin pour remplir son bol de céréales. Les unités sont en onces.

Tout d'abord, nous voulons dessiner un schéma, représentant la situation, afin de nous aider à choisir nos bornes d'intégration.


Voir la vidéo: #06 Outils mathématiques: coordonnées cylindriques (Décembre 2021).