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5.3 : Pente d'une ligne


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Trouver la pente d'une droite
  • Tracer une droite à partir d'un point et de la pente
  • Tracer une ligne en utilisant sa pente et son intersection
  • Choisissez la méthode la plus pratique pour tracer une ligne
  • Représenter graphiquement et interpréter les applications de pente–interception
  • Utiliser les pentes pour identifier les lignes parallèles et perpendiculaires

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Simplifier : (frac{(1-4)}{(8-2)}).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  2. Diviser : (frac{0}{4}), (frac{4}{0}).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  3. Simplifiez : (frac{15}{-3}), (frac{-15}{3}), (frac{-15}{-3}).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].

Trouver la pente d'une ligne

Lorsque vous tracez des équations linéaires, vous remarquerez peut-être que certaines lignes s'inclinent de gauche à droite et que certaines lignes s'inclinent vers le bas. Certaines lignes sont très raides et certaines lignes sont plus plates.

En mathématiques, la mesure de la pente d'une ligne est appelée la pente de la ligne.

Le concept de pente a de nombreuses applications dans le monde réel. Dans la construction, la pente d'un toit, l'inclinaison des tuyaux de plomberie et la pente des escaliers sont toutes des applications de la pente. et lorsque vous skiez ou descendez une colline, vous expérimentez définitivement la pente.

Nous pouvons attribuer une valeur numérique à la pente d'une ligne en trouvant le rapport entre la montée et la course. Le augmenter est le montant que la distance verticale change tandis que le Cours mesure le changement horizontal, comme le montre cette illustration. La pente est un taux de changement. Voir Chiffre.

PENTE D'UNE LIGNE

La pente d'une droite est (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

La montée mesure le changement vertical et la course mesure le changement horizontal.

Pour trouver la pente d'une droite, on localise deux points sur la droite dont les coordonnées sont des nombres entiers. Ensuite, nous esquissons un triangle rectangle où les deux points sont des sommets et un côté est horizontal et un côté est vertical.

Pour trouver la pente de la ligne, nous mesurons la distance le long des côtés vertical et horizontal du triangle. La distance verticale est appelée la augmenter et la distance horizontale est appelée la Cours,

TROUVER LA PENTE D'UNE LIGNE A PARTIR DE SON GRAPHIQUE EN UTILISANT (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}})

  1. Localisez deux points sur la ligne dont les coordonnées sont des nombres entiers.
  2. En commençant par un point, dessinez un triangle rectangle, allant du premier point au deuxième point.
  3. Comptez la montée et la course sur les jambes du triangle.
  4. Prenez le rapport entre la montée et la course pour trouver la pente : (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

Exemple (PageIndex{1})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse
Repérez deux points sur le graphique dont
les coordonnées sont des nombres entiers.
((0,5)) et ((3,3))
À partir de ((0,5)), esquissez un triangle rectangle pour
((3,3)) comme indiqué dans ce graphique.
Comptez la hausse - puisqu'elle descend, elle est négative.La montée est (−2).
Compter la course.La course est de 3.
Utilisez la formule de la pente.(m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}})
Remplacez les valeurs de la montée et de la course.(m=−23)
Simplifier.(m=−23)
La pente de la droite est (−23).
Alors oui diminue de 2 unités au fur et à mesure que X augmente de 3 unités.

Exemple (PageIndex{2})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(-frac{4}{3})

Exemple (PageIndex{3})

Trouvez la pente de la droite indiquée.

Réponse

(-frac{3}{5})

Comment trouver la pente des lignes horizontales et verticales ? Pour trouver la pente de la ligne horizontale, (y=4), nous pourrions tracer la ligne, trouver deux points dessus et compter la montée et la course. Voyons ce qui se passe lorsque nous faisons cela, comme le montre le graphique ci-dessous.

( egin{array} {ll} { ext{Quelle est la montée ?}} &{ ext{La montée est }0.} { ext{Quelle est la course ?}} &{ ext {La piste est }3.} { ext{Quelle est la pente ?}} &{m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} {} &{m= frac{0}{3}} {} &{m=0} {}&{ ext{La pente de la ligne horizontale } y=4 ext{ est }0.} end {array} onumber)

Considérons également une ligne verticale, la ligne (x=3), comme le montre le graphique.

( egin{array} {ll} { ext{Quelle est la montée ?}} &{ ext{La montée est }0.} { ext{Quelle est la course ?}} &{ ext {La piste est }3.} { ext{Quelle est la pente ?}} &{m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} {} &{m= frac{2}{0}} end{array} onumber)

La pente est indéfinie puisque la division par zéro n'est pas définie. On dit donc que la pente de la droite verticale (x=3) est indéfinie.

Toutes les lignes horizontales ont une pente 0. Lorsque le oui-les coordonnées sont les mêmes, la montée est de 0.

La pente de toute ligne verticale n'est pas définie. Quand le X-les coordonnées d'une ligne sont toutes les mêmes, la course est 0.

PENTE D'UNE LIGNE HORIZONTALE ET VERTICALE

La pente d'une ligne horizontale, (y=b), est 0.

La pente d'une droite verticale, (x=a), n'est pas définie.

Exemple (PageIndex{4})

Trouvez la pente de chaque droite : ⓐ (x=8) ⓑ (y=−5).

Réponse

(x=8)
Il s'agit d'une ligne verticale. Sa pente n'est pas définie.
(y=−5)
Il s'agit d'une ligne horizontale. Il a une pente 0.

Exemple (PageIndex{5})

Trouvez la pente de la droite : (x=−4).

Réponse

indéfini

Exemple (PageIndex{6})

Trouvez la pente de la droite : (y=7).

Réponse

0

GUIDE RAPIDE DES PENTES DE LIGNES

Parfois, nous aurons besoin de trouver la pente d'une ligne entre deux points lorsque nous n'avons pas de graphique pour compter la montée et la course. Nous pourrions tracer les points sur du papier quadrillé, puis compter la montée et la course, mais comme nous le verrons, il existe un moyen de trouver la pente sans tracer un graphique. Avant d'y arriver, nous devons introduire quelques notations algébriques.

Nous avons vu qu'un couple ordonné (x,y)(x,y) donne les coordonnées d'un point. Mais lorsque nous travaillons avec des pentes, nous utilisons deux points. Comment le même symbole (x,y)(x,y) peut-il être utilisé pour représenter deux points différents ? Les mathématiciens utilisent des indices pour distinguer les points.

( egin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{ ext{read "} x ext{ sub } 1, space y ext{ sub } 1 ext{"}} {(x_2, y_2)} &{ ext{read "} x ext{ sub } 2, space y ext{ sub } 2 ext{"}} end{array} onumber)

Nous utiliserons ((x_1,y_1)) pour identifier le premier point et ((x_2,y_2)) pour identifier le deuxième point.

Si nous avions plus de deux points, nous pourrions utiliser ((x_3,y_3)), ((x_4,y_4)), et ainsi de suite.

Voyons comment la montée et la course se rapportent aux coordonnées des deux points en examinant à nouveau la pente de la ligne entre les points ((2,3)) et ((7,6)), comme indiqué dans ce graphique.

( egin{array} {ll} { ext{Comme nous avons deux points, nous utiliserons la notation en indice.}} &{ egin{pmatrix} x_1, & y_1 2 & 3 end{pmatrix} begin{pmatrix} x_2, & y_2 6 & 6 end{pmatrix}} {} &{m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext{ Sur le graphique, nous avons compté la montée de 3 et la course de 5.}} &{m=frac{3}{5}} { ext{Remarquez que la montée de 3 peut être trouvée en soustrayant le} } &{} {y ext{-coordinates, 6 et 3, et la suite de 5 peut être trouvée en}} &{} { ext{soustrayant les x-coordinates 7 et 2.}} & {} { ext{Nous réécrivons la montée et la course en mettant les coordonnées.}} &{m=frac{6-3}{7-2}} {} &{} { text{Mais 6 est } y_2 ext{, la coordonnée y du deuxième point et 3 est }y_1 ext{, la coordonnée y}} &{} { ext{du premier point. peut réécrire la pente en utilisant la notation en indice.}} &{m=frac{y_2-y_1}{7-2}} { ext{Aussi 7 est la coordonnée x du deuxième point et 2 est le x- coordonnée}} &{} { ext{du premier point. Donc encore une fois nous réécrivons la pente en utilisant la notation en indice.}} &{m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} end{array} onumber)

Nous avons montré que (m=frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}) est vraiment une autre version de (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) . Nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la pente d'une ligne lorsque nous avons deux points sur la ligne.

PENTE D'UNE LIGNE ENTRE DEUX POINTS

La pente de la droite entre deux points ((x_1,y_1)) et ((x_2,y_2)) est :

(m=frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}).

La pente est :

[y ext{ du deuxième point moins }y ext{ du premier point} onumber] [ ext{over} onumber] [x ext{ du deuxième point moins }x texte{ du premier point} onumber]

Exemple (PageIndex{7})

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par les points ((−2,−3)) et ((-7,4)).

Réponse

( egin{array} {ll} { ext{Nous appellerons (−2,−3) point #1 et (−7,4) point #2.}} &{ egin{pmatrix} x_1, & y_1 -2 & -3 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_2, & y_2 -7 & 4 end{pmatrix}} { ext{Utiliser la formule de pente.}} &{m =frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} { ext{Remplacer les valeurs.}} &{} { ext{y du deuxième point moins y du premier point}} &{ } { ext{x du deuxième point moins x du premier point}} &{m=frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} { ext{ Simplifier}}&{m=frac{7}{-5}} {} &{m=frac{-7}{5}} end{array} onumber)

Vérifions cette pente sur le graphique ci-contre.

[m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}} onumber] [m=frac{7}{-5} onumber] [m=frac{−7 }{5} aucunnuméro]

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par la paire de points : ((−3,4)) et ((2,−1)).

Réponse

(-1)

Exemple (PageIndex{9})

Utilisez la formule de la pente pour trouver la pente de la droite passant par la paire de points : ((−2,6))et ((−3,−4)).

Réponse

10

Tracer une ligne à partir d'un point et de la pente

Jusqu'à présent, dans ce chapitre, nous avons tracé des lignes en traçant des points, en utilisant des interceptions et en reconnaissant des lignes horizontales et verticales.

Nous pouvons également représenter graphiquement une ligne lorsque nous connaissons un point et la pente de la ligne. Nous commencerons par tracer le point puis utiliserons la définition de la pente pour tracer le graphique de la droite.

Exemple (PageIndex{10}): Comment tracer une ligne à partir d'un point et de la pente

Tracez le graphe de la droite passant par le point ((1,−1)) dont la pente est (m=frac{3}{4}).

Réponse

Vous pouvez vérifier votre travail en trouvant un troisième point. Puisque la pente est (m=34), elle peut aussi être écrite comme (m=frac{−3}{−4}) (négatif divisé par négatif est positif !). Revenez à ((1,−1)) et comptez la montée, (−3), et la course, (−4).

Exemple (PageIndex{11})

Tracez le graphe de la droite passant par le point ((2,−2) avec la pente (m=frac{4}{3}).

Réponse

Exemple (PageIndex{12})

Tracez le graphique de la droite passant par le point ((−2,3)) avec la pente (m=frac{1}{4}).

Réponse

GRAPHIQUEZ UNE LIGNE DONNE UN POINT ET LA PENTE.

  1. Tracez le point donné.
  2. Utilisez la formule de pente (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) pour identifier la montée et la descente.
  3. En partant du point donné, comptez la montée et courez pour marquer le deuxième point.
  4. Reliez les points avec une ligne.

Représenter graphiquement une ligne à l'aide de sa pente et de son intersection

Nous avons représenté graphiquement des équations linéaires en traçant des points, en utilisant des interceptions, en reconnaissant les lignes horizontales et verticales et en utilisant un point et la pente de la ligne. Une fois que nous aurons vu comment une équation sous forme de pente à l'origine et son graphique sont liés, nous aurons une autre méthode que nous pouvons utiliser pour tracer des lignes.

Voir Chiffre. Regardons le graphique de l'équation (y=12x+3) et trouvons sa pente et oui-intercepter.

Les lignes rouges dans le graphique nous montrent que la montée est de 1 et la course est de 2. Substitution dans la formule de pente :

[m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}} onumber] [m=frac{1}{2} onumber]

Le oui-intercept est ((0,3)).

Regardez l'équation de cette droite.

Regardez la pente et oui-intercepter.

Lorsqu'une équation linéaire est résolue pour oui, le coefficient de la X terme est la pente et le terme constant est le oui-coordonnée du oui-intercepter. On dit que l'équation (y=12x+3) est sous la forme pente–intersection. Parfois, la forme pente-interception est appelée "oui-forme."

FORME D'INTERCEPTION DE PENTE D'UNE ÉQUATION D'UNE LIGNE

La forme pente-interception d'une équation d'une ligne avec pente m et oui-intercept, ((0,b)) est (y=mx+b).

Entraînons-nous à trouver les valeurs de la pente et oui-interception de l'équation d'une droite.

Exemple (PageIndex{14})

Identifier la pente et oui-interception de l'équation de la droite.

(y=frac{2}{5}x−1) ⓑ (x+4y=8)

Réponse

(m=frac{2}{5}); ((0,−1))
(m=−frac{1}{4}); ((0,2))

Exemple (PageIndex{15})

Identifier la pente et oui-interception de l'équation de la droite.

(y=−frac{4}{3} x+1) ⓑ (3x+2y=12)

Réponse

(m=−frac{4}{3}); ((0,1))
(m=−frac{3}{2}); ((0,6))

Nous avons tracé une ligne en utilisant la pente et un point. Maintenant que nous savons comment trouver la pente et oui-interception d'une droite de son équation, on peut utiliser le oui-intercepter comme le point, puis compter la pente à partir de là.

Exemple (PageIndex{16})

Représenter graphiquement la droite de l'équation (y=−x+4) en utilisant sa pente et oui-intercepter.

Réponse
(y=mx+b)
L'équation est sous la forme pente–interception.(y=−x+4)
Identifier la pente et oui-intercepter.(m=−1)
oui-intercept est ((0,4))
Tracez le oui-intercepter.Voir le graphique.
Identifiez la montée au cours de la course.(m=−11)
Comptez la montée et courez pour marquer le deuxième point.monter (-1), exécuter (1)

Tracez la ligne comme indiqué dans le graphique.

Exemple (PageIndex{17})

Représenter graphiquement la droite de l'équation (y=−x−3) en utilisant sa pente et oui-intercepter.

Réponse

Exemple (PageIndex{18})

Représenter graphiquement la droite de l'équation (y=−x−1) en utilisant sa pente et oui-intercepter.

Réponse

Maintenant que nous avons tracé des lignes en utilisant la pente et oui-intercept, résumons toutes les méthodes que nous avons utilisées pour tracer des lignes.

Choisissez la méthode la plus pratique pour tracer une ligne

Maintenant que nous avons vu plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour tracer des lignes, comment savons-nous quelle méthode utiliser pour une équation donnée ?

Bien que nous puissions tracer des points, utiliser la forme pente-intersection ou trouver les interceptions pour tout équation, si nous reconnaissons la façon la plus pratique de représenter graphiquement un certain type d'équation, notre travail sera plus facile.

En règle générale, tracer des points n'est pas le moyen le plus efficace de tracer une ligne. Cherchons quelques modèles pour aider à déterminer la méthode la plus pratique pour tracer une ligne.

Voici cinq équations que nous avons représentées graphiquement dans ce chapitre, et la méthode que nous avons utilisée pour représenter chacune d'elles.

[ egin{array} {lll} {} &{ extbf{Equation}} &{ extbf{Méthode}} { ext{#1}} &{x=2} &{ ext{Vertical ligne}} { ext{#2}} &{y=−1} &{ ext{Ligne horizontale}} { ext{#3}} &{−x+2y=6} &{ ext{Intercepts}} { ext{#4}} &{4x−3y=12} &{ ext{Intercepts}} { ext{#5}} &{y=−x+4 } &{ ext{Slope–intercept}} end{array} onumber]

Les équations #1 et #2 ont chacune une seule variable. Rappelez-vous, dans les équations de cette forme, la valeur de cette variable est constante ; il ne dépend pas de la valeur de l'autre variable. Les équations de cette forme ont des graphiques qui sont des lignes verticales ou horizontales.

Dans les équations #3 et #4, les deux X et oui sont du même côté de l'équation. Ces deux équations sont de la forme Ax+By=C.Ax+By=C. Nous avons substitué y=0y=0 pour trouver le X- intercepter et x=0x=0 pour trouver le oui-intercept, puis trouvé un troisième point en choisissant une autre valeur pour X ou alors oui.

L'équation n° 5 est écrite sous la forme pente–interception. Après avoir identifié la pente et y-intercepter de l'équation, nous les avons utilisés pour tracer la ligne.

Cela conduit à la stratégie suivante.

STRATÉGIE POUR CHOISIR LA MÉTHODE LA PLUS PRATIQUE POUR GRAPHIQUER UNE LIGNE

Considérez la forme de l'équation.

  • S'il n'a qu'une variable, c'est une ligne verticale ou horizontale.
    • (x=a) est une ligne verticale passant par le X-axe à une.
    • (y=b) est une ligne horizontale passant par le oui-axe à b.
  • Si oui est isolé d'un côté de l'équation, sous la forme (y=mx+b), graphique en utilisant la pente et oui-intercepter.
    • Identifier la pente et oui-interception puis graphique.
  • Si l'équation est de la forme (Ax+By=C), trouvez les interceptions.
    • Trouvez le X- et oui-intercepts, un troisième point, puis graphique.

Exemple (PageIndex{19})

Déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne :

(y=5) ⓑ (4x−5y=20) ⓒ (x=−3) ⓓ (y=−frac{5}{9}x+8)

Réponse

(y=5)
Cette équation n'a qu'une variable, oui. Son graphique est une ligne horizontale traversant le oui-axe à (5).
(4x−5y=20)
Cette équation est de la forme (Ax+By=C). Le moyen le plus simple de le représenter graphiquement sera de trouver les interceptions et un autre point.
(x=−3)
Il n'y a qu'une variable, X. Le graphique est une ligne verticale traversant le X-axe à (−3).
(y=−frac{5}{9}x+8)
Puisque cette équation est sous la forme (y=mx+b), il sera plus facile de représenter graphiquement cette droite en utilisant la pente et oui-interceptions.

Exemple (PageIndex{20})

Déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne :

(3x+2y=12) ⓑ (y=4) ⓒ (y=frac{1}{5}x−4) ⓓ (x=−7).

Réponse

ⓐ intercepte ⓑ ligne horizontale ⓒ pente-interception ⓓ ligne verticale

Exemple (PageIndex{21})

Déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne :

ⓐ (x=6) ⓑ (y=−frac{3}{4}x+1) ⓒ (y=−8) ⓓ (4x−3y=−1).

Réponse

ⓐ ligne verticale ⓑ pente à l'origine ⓒ ligne horizontale
intercepte

Graphique et interprétation des applications de l'interception de pente

De nombreuses applications du monde réel sont modélisées par des équations linéaires. Nous allons jeter un œil à quelques applications ici afin que vous puissiez voir comment les équations écrites sous forme d'intersection de pente se rapportent à des situations du monde réel.

Habituellement, lorsqu'un modèle d'équation linéaire utilise des données du monde réel, différentes lettres sont utilisées pour les variables, au lieu d'utiliser uniquement X et oui. Les noms des variables nous rappellent quelles quantités sont mesurées.

De plus, nous devrons souvent étendre les axes de notre système de coordonnées rectangulaires à des nombres positifs et négatifs plus grands pour prendre en charge les données dans l'application.

Exemple (PageIndex{22})

L'équation (F=frac{9}{5}C+32) est utilisée pour convertir les températures, C, sur l'échelle Celsius aux températures, F, sur l'échelle Fahrenheit.

Trouvez la température Fahrenheit pour une température Celsius de 0.

Trouvez la température Fahrenheit pour une température Celsius de 20.

ⓒ Interpréter la pente et F-interception de l'équation.

Représentez graphiquement l'équation.

Réponse

( egin{array} {ll} { ext{Trouver la température Fahrenheit pour une température Celsius de 0.}} &{F=frac{9}{5}C+32} { ext{Trouver F lorsque C=0.}} &{F=frac{9}{5}(0)+32} { ext{Simplify.}} &{F=32} end{array} pas de numéro)

( egin{array} {ll} { ext{Trouver la température Fahrenheit pour une température Celsius de 20.}} &{F=frac{9}{5}C+32} { ext{Trouver F quand C=20.}} &{F=frac{9}{5}(20)+32} { ext{Simplifier.}} &{F=36+32} { ext{ Simplifier.}} &{F=68} end{array} onumber)


Interpréter la pente et F-interception de l'équation.
Même si cette équation utilise F et C, il est toujours sous forme d'interception de pente.

La pente, (frac{9}{5}), signifie que la température Fahrenheit (F) augmente de 9 degrés lorsque la température Celsius (C) augmente de 5 degrés.
Le F-intercept signifie que lorsque la température est (0°) sur l'échelle Celsius, elle est (32°) sur l'échelle Fahrenheit.
Représentez graphiquement l'équation.
Nous devrons utiliser une plus grande échelle que notre habitude. Commencez au F-intercepter ((0,32)), puis compter la montée de 9 et la course de 5 pour obtenir un deuxième point comme indiqué dans le graphique.

Exemple (PageIndex{23})

L'équation (h=2s+50) est utilisée pour estimer la taille d'une femme en pouces, h, en fonction de sa pointure, s.

Estimez la taille d'un enfant qui porte une pointure 0 pour femme.

Estimez la taille d'une femme avec une pointure 8.

ⓒ Interpréter la pente et h-interception de l'équation.

Représentez graphiquement l'équation.

Réponse

50 pouces
ⓑ 66 pouces
ⓒ La pente, 2, signifie que la hauteur, h, augmente de 2 pouces lorsque la pointure, s, augmente de 1. Le h-intercept signifie que lorsque la pointure est 0, la hauteur est de 50 pouces.

Exemple (PageIndex{24})

L'équation (T=frac{1}{4}n+40) est utilisée pour estimer la température en degrés Fahrenheit, T, basé sur le nombre de cris de cricket, m, en une minute.

Estimez la température lorsqu'il n'y a pas de bips.

Estimez la température lorsque le nombre de bips en une minute est de 100.

ⓒ Interpréter la pente et T-interception de l'équation.

Représentez graphiquement l'équation.

Réponse

40 degrés
ⓑ 65 degrés
ⓒ La pente, (frac{1}{4}), signifie que la température Fahrenheit (F) augmente de 1 degré lorsque le nombre de bips, m, augmente de 4. Le T-intercept signifie que lorsque le nombre de bips est de 0, la température est de 40°.

Le coût d'exploitation de certains types d'entreprise comporte deux éléments : un coûts fixes et un coût variable. Le coût fixe est toujours le même quel que soit le nombre d'unités produites. Il s'agit du coût du loyer, des assurances, de l'équipement, de la publicité et d'autres éléments qui doivent être payés régulièrement. Le coût variable dépend du nombre d'unités produites. C'est pour le matériel et la main-d'œuvre nécessaires pour produire chaque article.

Exemple (PageIndex{25})

Sam conduit une camionnette de livraison. L'équation (C=0,5m+60) modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre de miles, m, qu'il conduit.

Trouvez le coût de Sam pour une semaine lorsqu'il conduit 0 miles.

Trouvez le coût pour une semaine lorsqu'il parcourt 250 milles.

ⓒ Interpréter la pente et C-interception de l'équation.

Représentez graphiquement l'équation.

Réponse


( egin{array} {ll} { ext{Trouvez le coût de Sam pour une semaine lorsqu'il conduit 0 miles.}} &{C=0,5m+60} { ext{Trouvez C lorsque m=0. }} &{C=0.5(0)+60} { ext{Simplifier.}} &{C=60} {} &{ ext{Les coûts de Sam sont de }$ ext{60 lorsqu'il conduit 0 milles.}} end{array} onumber )

( egin{array} {ll} { ext{Trouvez le coût de Sam pour une semaine lorsqu'il conduit 250 miles.}} &{C=0,5m+60} { ext{Trouvez C lorsque m=250. }} &{C=0.5(250)+60} { ext{Simplifier.}} &{C=185} {} &{ ext{Les frais de Sam sont de }$ ext{185 lorsqu'il conduit 250 miles.}} end{array} onumber )
ⓒ Interpréter la pente et C-interception de l'équation.

La pente, 0,5, signifie que le coût hebdomadaire, C, augmente de 0,50 $ lorsque le nombre de kilomètres parcourus, m, augmente de 1.
Le C-intercept signifie que lorsque le nombre de kilomètres parcourus est de 0, le coût hebdomadaire est de 60 $.
Représentez graphiquement l'équation.
Nous devrons utiliser une plus grande échelle que notre habitude. Commencez au C-intercepter ((0,60)).

Pour compter la pente (m= 0.5), nous la réécrivons comme une fraction équivalente qui facilitera notre représentation graphique.

( egin{array} {ll} {} &{m=0,5} { ext{Réécrire sous forme de fraction.}} &{m=frac{0,5}{1}} { ext{ Multiplier le numérateur et}} &{} { ext{dénominateur par 100}} &{m=frac{0.5(100)}{1(100)}} { ext{Simplifier.}} &{ m=frac{50}{100}} end{array} onumber )

Donc, pour représenter graphiquement le point suivant, montez de 50 à partir de l'intersection de 60, puis de 100 à droite. Le deuxième point sera ((100, 110)).

Exemple (PageIndex{26})

Stella a une entreprise à domicile vendant des pizzas gastronomiques. L'équation (C=4p+25) modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre de pizzas, p, qu'elle vend.

Trouvez le coût de Stella pour une semaine lorsqu'elle ne vend pas de pizzas.

Trouvez le coût pour une semaine quand elle vend 15 pizzas.

ⓒ Interpréter la pente et C-interception de l'équation.

Représentez graphiquement l'équation.

Réponse

ⓐ $25
ⓑ $85
ⓒ La pente, 4, signifie que le coût hebdomadaire, C, augmente de 4 $ lorsque le nombre de pizzas vendues, p, augmente de 1. Le C-intercept signifie que lorsque le nombre de pizzas vendues est de 0, le coût hebdomadaire est de 25 $.

Exemple (PageIndex{27})

Loreen a une entreprise de calligraphie. L'équation (C=1,8n+35) modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre de faire-part de mariage, m, qu'elle écrit.

Trouvez le coût de Loreen pour une semaine lorsqu'elle n'écrit aucune invitation.

Trouvez le coût d'une semaine lorsqu'elle rédige 75 invitations.

ⓒ Interpréter la pente et C-interception de l'équation.

Représentez graphiquement l'équation.

Réponse

ⓐ $35
ⓑ $170
ⓒ La pente, (1.8), signifie que le coût hebdomadaire, C, augmente de ($1.80) lorsque le nombre d'invitations, m, augmente de 1.
Le C-intercept signifie que lorsque le nombre d'invitations est de 0, le coût hebdomadaire est de 35 $.

Utiliser des pentes pour identifier des lignes parallèles et perpendiculaires

Deux droites qui ont la même pente sont appelées lignes parallèles. Les lignes parallèles ont la même pente et ne se coupent jamais.

Nous disons cela plus formellement en termes de système de coordonnées rectangulaires. Deux droites qui ont la même pente et différentes oui-les interceptions sont appelées lignes parallèles. Voir Chiffre.

Vérifiez que les deux droites ont la même pente, (m=frac{2}{5}), et différentes oui-interceptions.

Et les lignes verticales ? La pente d'une ligne verticale n'est pas définie, donc les lignes verticales ne correspondent pas à la définition ci-dessus. On dit que les lignes verticales qui ont des X-les interceptions sont parallèles, comme les lignes montrées dans ce graphique.

LIGNES PARALLÈLES

Lignes parallèles sont des lignes dans le même plan qui ne se coupent pas.

  • Les droites parallèles ont la même pente et différentes oui-interceptions.
  • Si m1m1 et m2m2 sont les pentes de deux droites parallèles alors m1=m2.m1=m2.
  • Les lignes verticales parallèles ont différentes X-interceptions

Puisque les droites parallèles ont la même pente et des oui-intercepts, nous pouvons maintenant simplement regarder la forme pente-interception des équations des droites et décider si les droites sont parallèles.

Exemple (PageIndex{28})

Utiliser les pentes et oui-interceptes pour déterminer si les droites sont parallèles :

ⓐ (3x−2y=6) et (y=frac{3}{2}x+1) ⓑ (y=2x−3) et (−6x+3y=−9) .

Réponse


( egin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{ ext{and}} &{y=frac{3}{2}x+1} {} &{ −2y=−3x+6} &{} &{} { ext{Résoudre la première équation pour y.}} &{frac{-2y}{-2}=frac{-3x+6} {-2}} &{} &{} { ext{L'équation est maintenant sous la forme pente–intersection.}} &{y=frac{3}{2}x−3} &{} &{ } { ext{L'équation de la deuxième ligne est déjà}} &{} &{} &{} { ext{sous forme pente–intersection.}} &{} &{} &{y= frac{3}{2}x+1} {} &{} &{} &{} {} &{y=frac{3}{2}x−3} &{} &{ y=frac{3}{2}x+1} {Identifier la pente et l'ordonnée à l'origine des deux droites.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} { } &{m=frac{3}{2}} &{} &{y=frac{3}{2}} {} &{ ext{y-intercept est }(0,−3) } &{} &{ ext{y-intercept is }(0,1)} end{array} onumber)
Les droites ont la même pente et différentes oui-intercepts et donc ils sont parallèles.
Vous voudrez peut-être tracer les lignes pour confirmer si elles sont parallèles.


( egin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{ ext{and}} &{−6x+3y=−9} { ext{La première équation est déjà dans forme pente–intersection.}} &{y=2x−3} &{} &{} {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} {} &{} &{ } &{3y=6x−9} { ext{Résoudre la deuxième équation pour y.}} &{} &{} &{frac{3y}{3}=frac{6x−9}{3 }} {} &{} &{} &{y=2x−3} { ext{La deuxième équation est maintenant sous la forme pente–intersection.}} &{} &{} &{y=2x −3} {} &{} &{} &{} {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} { ext{Identifier la pente andy- interception des deux lignes.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} {} &{m=2} &{} &{m=2} {} & { ext{y-intercept est }(0,−3)} &{} &{ ext{y-intercept est }(0,-3)} end{array} onumber)
Les droites ont la même pente, mais elles ont aussi la même oui-interceptions. Leurs équations représentent la même droite et nous disons que les droites coïncident. Ils ne sont pas parallèles ; ce sont la même ligne.

Exemple (PageIndex{29})

Utiliser les pentes et y-intercepte pour déterminer si les lignes sont parallèles :

ⓐ (2x+5y=5) et (y=−frac{2}{5}x−4) ⓑ (y=−frac{1}{2}x−1) et (x+2y=−2).

Réponse

ⓐ parallèle ⓑ non parallèle; même ligne

Exemple (PageIndex{30})

Utiliser les pentes et y-intercepte pour déterminer si les lignes sont parallèles :

ⓐ (4x−3y=6) et (y=frac{4}{3}x−1) ⓑ (y=frac{3}{4}x−3) et (3x -4y=12).

Réponse

ⓐ parallèle ⓑ non parallèle; même ligne

Exemple (PageIndex{31})

Utiliser les pentes et y-intercepte pour déterminer si les lignes sont parallèles :

(y=−4) et (y=3) ⓑ (x=−2) et (x=−5).

Réponse

(y=−4) et (y=3)

Nous reconnaissons tout de suite aux équations qu'il s'agit de droites horizontales, et nous savons donc que leurs pentes sont toutes les deux égales à 0.
Étant donné que les lignes horizontales traversent le oui-axe en y=−4y=−4 et en y=3,y=3, on connait le oui- les interceptions sont (0,−4)(0,−4) et (0,3).(0,3).
Les droites ont la même pente et différentes oui-intercepts et donc ils sont parallèles.

(x=−2) et (x=−5)

Nous reconnaissons tout de suite aux équations que ce sont des lignes verticales, et nous savons donc que leurs pentes ne sont pas définies.
Étant donné que les lignes verticales traversent le X-axe en (x=−2) et (x=−5), on connaît le ouiles interceptions sont ((−2,0)) et ((−5,0)).
Les lignes sont verticales et ont différentes X-intercepts et donc ils sont parallèles.

Exemple (PageIndex{32})

Utiliser les pentes et y-intercepte pour déterminer si les lignes sont parallèles :

(y=8) et (y=−6) ⓑ (x=1) et (x=−5).

Réponse

ⓐ parallèle ⓑ parallèle

Exemple (PageIndex{33})

Utiliser les pentes et y-intercepte pour déterminer si les lignes sont parallèles :

(y=1) et (y=−5) ⓑ (x=8) et (x=−6).

Réponse

ⓐ parallèle ⓑ parallèle

Regardons les droites dont les équations sont (y=frac{1}{4}x−1) et (y=−4x+2), montrées dans Chiffre.

Ces lignes se trouvent dans le même plan et se coupent à angle droit. Nous appelons ces droites perpendiculaires.

Si nous regardons la pente de la première ligne, (m_1=frac{1}{4}), et la pente de la deuxième ligne, (m_2=−4), nous pouvons voir qu'elles sont réciproques négatives l'un de l'autre. Si on les multiplie, leur produit est (−1).

[egin{array} {l} {m_1·m_2} {14(−4)} {−1} end{array} onumber]

C'est toujours vrai pour les lignes perpendiculaire et nous conduit à cette définition.

LES LIGNES PERPENDICULAIRE

Les lignes perpendiculaire sont des lignes dans le même plan qui forment un angle droit.

  • Si (m_1) et (m_2) sont les pentes de deux droites perpendiculaires, alors :
    • leurs pentes sont des réciproques négatives l'une de l'autre, (m_1=−frac{1}{m_2}).
    • le produit de leurs pentes est (−1), (m_1·m_2=−1).
  • Une ligne verticale et une ligne horizontale sont toujours perpendiculaires l'une à l'autre

Nous avons pu examiner la forme pente-intersection des équations linéaires et déterminer si les lignes étaient parallèles ou non. On peut faire la même chose pour les droites perpendiculaires.

Nous trouvons la forme pente-interception de l'équation, puis voyons si les pentes sont des inverses opposés. Si le produit des pentes est (−1), les droites sont perpendiculaires.

Exemple (PageIndex{34})

Utilisez des pentes pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires :

ⓐ (y=−5x−4) et (x−5y=5) ⓑ (7x+2y=3) et (2x+7y=5)

Réponse


La première équation est sous la forme pente–interception.Résolvez la deuxième équation par fory.Identifiez la pente de chaque ligne.y=−5x−4yym1=−5x−4=mx+b=−5x−5y−5y−5y−5y= 5=−x+5=−x+5−5=15x−1yym2=15x−1=mx+b=15La première équation est sous la forme pente–interception.y=−5x−4Résolvez la deuxième équation fory.x−5y =5−5y=−x+5−5y−5=−x+5−5y=15x−1Identifier la pente de chaque droite.y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=15x−1y=mx+ bm2=15
Les pentes sont des réciproques négatives les unes des autres, donc les lignes sont perpendiculaires. On vérifie en multipliant les pentes, puisque −5(15)=−1,−5(15)=−1, il vérifie.


Résoudre les équations fory.Identifier la pente de chaque droite.7x+2y2y2y2y=3=−7x+3=−7x+32=−72x+32ym1=mx+b=−722x+7y7y7y7y=5=−2x+5=− 2x+57=−27x+57ym1=mx+b=−27Résoudre les équations fory.7x+2y=32y=−7x+32y2=−7x+32y=−72x+322x+7y=57y=−2x+57y7=− 2x+57y=−27x+57Identifier la pente de chaque droite.y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−27
Les pentes sont réciproques, mais elles ont le même signe. Comme il ne s'agit pas d'inverses négatifs, les droites ne sont pas perpendiculaires.

Exemple (PageIndex{3})

Utilisez des pentes pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires :

(y=−3x+2) et (x−3y=4) ⓑ (5x+4y=1) et (4x+5y=3).

Réponse

ⓐ perpendiculaire ⓑ pas perpendiculaire

Exemple (PageIndex{3})

Utilisez des pentes pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires :

(y=2x−5) et (x+2y=−6) ⓑ (2x−9y=3) et (9x−2y=1).

Réponse

ⓐ perpendiculaire ⓑ pas perpendiculaire

Concepts clés

  • Pente d'une ligne
    • La pente d'une droite est (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).
    • La montée mesure le changement vertical et la course mesure le changement horizontal.
  • Comment trouver la pente d'une droite à partir de son graphique en utilisant (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).
    1. Localisez deux points sur la ligne dont les coordonnées sont des nombres entiers.
    2. En commençant par un point, dessinez un triangle rectangle, allant du premier point au deuxième point.
    3. Comptez la montée et la course sur les jambes du triangle.
    4. Prenez le rapport entre la montée et la course pour trouver la pente : (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).
  • Pente d'une ligne entre deux points.
    • La pente de la droite entre deux points ((x_1,y_1)) et ((x_2,y_2)) est :

      [m=frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} onumber].

  • Comment tracer une ligne à partir d'un point et de la pente.
    1. Tracez le point donné.
    2. Utilisez la formule de pente (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) pour identifier la montée et la descente.
    3. En partant du point donné, comptez la montée et courez pour marquer le deuxième point.
    4. Reliez les points avec une ligne.
  • Forme d'interception de pente d'une équation d'une ligne
    • La forme pente-interception d'une équation d'une ligne avec pente m et oui-interception, ((0,b)) est (y=mx+b)
  • Lignes parallèles
    • Les lignes parallèles sont des lignes dans le même plan qui ne se coupent pas.
      Les droites parallèles ont la même pente et différentes oui-interceptions.
      Si (m_1) et (m_2) sont les pentes de deux droites parallèles alors (m_1=m_2).
      Les lignes verticales parallèles ont différentes X-interceptions.
  • Les lignes perpendiculaire
    • Les lignes perpendiculaires sont des lignes dans le même plan qui forment un angle droit.
    • Si (m_1) et (m_2) sont les pentes de deux droites perpendiculaires, alors :
      leurs pentes sont des réciproques négatives l'une de l'autre, (m_1=−frac{1}{m_2}).
      le produit de leurs pentes est (−1), (m_1·m_2=−1).
    • Une ligne verticale et une ligne horizontale sont toujours perpendiculaires l'une à l'autre.

Glossaire

lignes parallèles
Les lignes parallèles sont des lignes dans le même plan qui ne se coupent pas.
les lignes perpendiculaire
Les lignes perpendiculaires sont des lignes dans le même plan qui forment un angle droit.

5.3 : Interprétation de la pente d'une ligne

  • Contribution de Larry Green
  • Professeur (mathématiques) au Lake Tahoe Community College

Un problème courant lorsque nous apprenons l'équation d'une ligne en algèbre est d'énoncer la pente sous forme de nombre, mais nous n'avons aucune idée de ce qu'elle représente dans le monde réel. La pente d'une ligne est la montée par rapport à la course. Si la pente est donnée par une valeur entière ou décimale, nous pouvons toujours la placer sur le nombre 1. Dans ce cas, la ligne monte de la pente lorsqu'elle passe à 1. "Runs 1" signifie que la valeur x augmente d'1 unité. Par conséquent, la pente représente de combien la valeur y change lorsque la valeur x change de 1 unité. Dans les statistiques, en particulier l'analyse de régression, la valeur x a une signification réelle, tout comme la valeur y.

Une étude a été réalisée pour voir la relation entre le temps qu'il faut, (x), pour obtenir un diplôme collégial et la dette de prêt étudiant contractée, (y). L'équation de la droite de régression est :

Interpréter la pente de la droite de régression dans le contexte de l'étude.

Tout d'abord, notez que la pente est le coefficient devant le (x). Ainsi, la pente est de 14 329. Ensuite, la pente est la montée sur la course, il est donc utile d'écrire la pente sous forme de fraction :

La hausse correspond à la variation de (y) et (y) représente la dette de prêt étudiant. Ainsi, le numérateur représente une augmentation de 14 329 $ de la dette étudiante. La course est le changement de (x) et (x) représente le temps qu'il faut pour obtenir un diplôme collégial. Ainsi, le dénominateur représente une augmentation d'un an pour obtenir un diplôme collégial. Nous pouvons mettre tout cela ensemble et interpréter la pente comme nous indiquant que pour chaque année supplémentaire nécessaire pour obtenir un diplôme collégial, la dette étudiante augmente en moyenne de 14 329 $.

Supposons qu'un groupe de recherche teste le taux de cholestérol d'un échantillon de femmes de 40 ans, puis attend de nombreuses années pour voir la relation entre le taux de cholestérol HDL d'une femme en mg/dl, (x), et son âge de décès, (y). L'équation de la droite de régression est :

Interpréter la pente de la droite de régression dans le contexte de l'étude.

La pente de la droite de régression est de -0,3. La pente en fraction est :

L'augmentation correspond à la variation de (y) et (y) représente l'âge du décès. La pente étant négative, le numérateur indique une diminution de la durée de vie. Ainsi, le numérateur représente une diminution de la durée de vie de 0,3 an. Le run est le changement de (x) et (x) représente le taux de cholestérol HDL. Ainsi, le dénominateur représente une augmentation du taux de cholestérol HDL de 1 mg/dl. Maintenant, mettez tout cela ensemble et interprétez la pente comme nous indiquant que pour chaque 1 mg/dl supplémentaire de cholestérol HDL, les femmes devraient en moyenne mourir 0,3 an plus jeune.

Un chercheur a demandé à plusieurs employés qui ont effectué des heures supplémentaires : "Combien d'heures supplémentaires avez-vous effectuées la semaine dernière ?" et "Sur une échelle de 1 à 10, dans quelle mesure êtes-vous satisfait de votre travail ?". Le nuage de points et la droite de régression de cette étude sont présentés ci-dessous.

Interpréter la pente de la droite de régression dans le contexte de l'étude.

Nous devons d'abord déterminer la pente de la droite de régression. Pour trouver la pente, nous obtenons deux points qui ont des coordonnées aussi belles que possible. D'après le graphique, nous voyons que la ligne passe par les points (10,6) et (15,4). La pente de la droite de régression peut maintenant être trouvée en utilisant la formule de montée sur la course :

L'augmentation correspond au changement de (y) et (y) représente l'indice de satisfaction au travail. Comme la pente est négative, le numérateur indique une diminution de la satisfaction au travail. Ainsi, le numérateur représente une diminution de la satisfaction au travail de 2 sur l'échelle de 1 à 10. L'exécution est la variation de (x) et (x) représente les heures supplémentaires. Ainsi, le dénominateur représente une augmentation de 5 heures supplémentaires. Maintenant, rassemblez tout cela et interprétez la pente comme nous indiquant que pour chaque 5 heures supplémentaires d'heures supplémentaires demandées aux employés, leur satisfaction au travail diminue en moyenne de 2 points.

Le nuage de points et la ligne de régression ci-dessous proviennent d'une étude qui a collecté des données sur la population (en centaines de milliers) de villes et le nombre moyen d'heures par semaine que les habitants de la ville passent à l'extérieur.


Pente négative

Les exemples ci-dessous montrent que lorsque x augmente, y diminue. Il en résulte une pente négative qui descend de gauche à droite.

Générateur de graphes !

Entrez la pente (m) et l'ordonnée à l'origine (b) ci-dessous puis cliquez sur Dessiner une ligne

Équation de dessin y = 2x – 1


Quelle est la pente d'une ligne ?

Les lignes sont utilisées pour garder une trace de beaucoup d'informations - comme combien d'argent une entreprise gagne. Juste au-dessus de votre tête, laquelle des lignes ci-dessus voudriez-vous décrire les bénéfices de VOTRE entreprise ? Que la ligne soit inclinée vers le haut ou vers le bas, tout à coup, devient VRAIMENT important !

Je vais maintenant vous présenter

Pierre La Fourmi Alpiniste

(C'est une sorte de super-héros pathétique des maths.)

Pour les pistes, Pierre va marcher sur les lignes de gauche à droite
- tout comme nous le lisons.

Les pentes montantes sont des pentes positives.
La pente sera un nombre positif comme 5 ou 2/3 .

Les pentes descendantes sont des pentes négatives.
La pente sera un nombre négatif comme -7 ou -1/3 .

Il y a trois façons de trouver la pente d'une droite. Deux d'entre eux sont dans les deux prochaines leçons et le troisième vient plus tard.


5.3 : Pente d'une ligne

Trouver (m1)(m2) en utilisant (7) et (9) :

La pente de la ligne d'angle QP formes avec le X-axe est 2,32. Quelle est la mesure de cet angle ?

Solution. Notons la mesure de l'angle par . Puis,

En utilisant la définition de l'inverse de la fonction tangente,

Déterminer en utilisant la touche [tan &ndash1 ] sur une calculatrice scientifique :

Instructions vidéo
*La disponibilité des liens vidéo You Tube peut varier. eTAP n'a aucun contrôle sur ces matériaux.

pour les élèves, les parents et les enseignants

Dans les leçons 5-1, 5-2 et 5-3, nous avons appris les définitions et les applications des concepts suivants :

Inverse de fonction sinus : pour la fonction oui = péché X, la fonction inverse est définie par X = péché &ndash1 oui, où &ndash1 oui 1. Inverse de la fonction cosinus : laisser oui = cos X, l'inverse de la fonction oui est la fonction g = X = cos &ndash1 oui. Cela signifie que X ou alors g est une fonction telle que son cosinus est égal oui. Les fonctions g et oui sont équivalents. C'est-à-dire que nous pouvons déduire l'un de l'autre.

Calculs trigonométriques : en plus des formules que nous avons apprises jusqu'à présent, il existe des groupes d'autres formules trigonométriques qui sont essentielles dans les calculs trigonométriques.

Tangente comme pente d'une ligne : la pente d'une ligne est la tangente de l'angle qu'elle forme avec le X-axe. (Haut)


Vous pouvez trouver la pente de n'importe quelle ligne en suivant ces trois étapes simples :

La première étape: Déterminez si la pente est positive (croissante) ou négative (décroissante)

Deuxième étape : À l'aide de deux points sur la ligne, calculez la montée et la course et exprimez-les sous forme de fraction (montée sur course).

Troisième étape: Simplifiez la fraction si possible.

Voyons quelques exemples !

EXEMPLE: Trouvez la pente de la droite ci-dessous.

La première étape: Déterminez si la pente est positive (croissante) ou négative (décroissante)

Remarquez que la droite augmente de gauche à droite, nous savons donc que cette droite a une pente positive !

Deuxième étape : À l'aide de deux points sur la ligne, calculez la montée et la course et exprimez-les sous forme de fraction (montée sur course).

Pour cet exemple, commençons par choisir le point le plus à gauche (-9,-6) et le point le plus à droite (9,6).

Pour trouver la montée au-dessus de la course, tracez une ligne verticale qui monte de (-9,6) et une ligne horizontale qui va jusqu'à (9,6), puis comptez combien d'unités vous avez dû parcourir vers le haut (montée) et combien jusqu'au à droite (run) et exprimez-le sous forme de fraction comme suit :

Rise over run, c'est comme construire un escalier!

Troisième étape: Simplifiez la fraction si possible.

À l'heure actuelle, vous pouvez dire que la pente de la ligne est de 12/18. Mais 6/9 est également équivalent à 12/18, alors voyons à quoi cela ressemblerait sur le graphique en commençant par le premier point (-9,-6) et cette fois en montant 6 et en courant vers la droite 9 unités à plusieurs reprises comme suit:

Remarquez comment vous vous retrouvez au même endroit !

À ce stade, il est clair que la ligne a une pente de 12/18 et une pente de 6/9.

Mais nous ne voulons pas avoir plusieurs pentes pour la même ligne, vous exprimerez donc toujours la pente d'une ligne sous la forme la plus simple ou réduite.

Dans cet exemple, les pentes de 12/18 et 6/9 peuvent être simplifiées à 2/3 comme suit :

Et puisque 2/3 ne peut pas être simplifié davantage, vous pouvez conclure que :

Réponse finale: La droite a une pente positive de 2/3


2 réponses 2

En deux dimensions, on écrit souvent une ligne sous la forme $y = mx + b.$

Cependant, il existe d'autres formes équivalentes. Étant donné un point $(x_0, y_0)$ sur une droite et la pente de la droite, on peut aussi écrire $y - y_0 = m(x - x_0).$

Un inconvénient de cette formule est qu'elle ne peut pas exprimer des lignes où $x$ est constant, par exemple, la ligne $x=3$ (ce problème se pose parce que nous avons défini $y$ en fonction de $x$). Pour remédier à ce problème, nous pourrions plutôt écrire la ligne sous forme paramétrique : $left<egin<>y = y_0 + m_yt x = x_0 + m_xtendcorrect.$

Nous pouvons rendre cette formule légèrement plus compacte en utilisant la notation vectorielle :

$langle x,y angle = langle x_0, y_0 angle + tlangle m_x, m_y angle.$

Sous cette forme, nous appelons le vecteur $langle m_x, m_y angle$ le vecteur directeur. Il s'avère que le vecteur de direction est un analogue utile de la pente dans les dimensions supérieures : en deux dimensions, le rapport entre le changement de $x$ et $y$ est $Delta x:Delta y = m_x : m_y$, et ceci est vrai même si $Delta x = 0, Delta y ot= 0$.

En trois dimensions, on a

$langle x,y,z angle = langle x_0, y_0, z_0 angle +tlangle m_x, m_y, m_z angle.$

Pour votre exemple particulier, nous pouvons choisir $langle x_0, y_0, z_0 angle = langle 5,5,5 angle$, $langle m_x, m_y, m_z angle = langle 1,2,3 angle - langle5,5,5 angle= langle-4,-3,-2 angle$, donc la ligne peut être exprimée comme

$langle x,y,z angle = langle 5,5,5 angle +tlangle -4,-3,-2 angle,$

et la ligne a le vecteur de direction $langle -4, -3, -2 angle$. Observons qu'en faisant varier la valeur de $t$, on peut obtenir d'autres points sur la ligne : $t=0$ correspond à $p_1$, $t=1$ correspond à $p_2$, et d'autres valeurs de $t$ correspondront à d'autres points.

Vous pouvez trouver plus d'informations sur l'écriture de lignes en trois dimensions sous forme de fonctions vectorielles ici.


LA PENTE D'UNLIGNE DROITE

D A LA LEÇON PRÉCÉDENTE , nous avons repris l'équation d'une droite. L'esquisse du graphique de l'équation d'une ligne doit être une compétence de base.

Considérez cette ligne droite. Les coordonnées ( x , y ) en B ont changé par rapport aux coordonnées en A. Par le symbole &Delta x ("delta x"), nous entendons le changement de la valeur x. C'est-à-dire,

(En ce qui concerne l'utilisation des indices 1 et 2, voir leçon 32, la section, La distance entre deux points quelconques.)

De même, &Delta y ("delta y") signifie le changement résultant des coördinates y.

&Delta x est la branche horizontale de ce triangle rectangle &Delta y est la branche verticale.

Par la pente d'une droite, nous entendons donc ce nombre :

Si la valeur de y change de 2 unités lorsque la valeur de x change de 3, alors la pente de cette ligne est .

Que signifie pente ? Il indique la vitesse à laquelle un changement de la valeur de x produit un changement de la valeur de y . 2 unités de y par -- pour chaque -- 3 unités de x .

Pour chaque 3 unités que la ligne se déplace vers la droite, elle montera de 2. Cela sera vrai entre deux points quelconques sur cette ligne. Plus de 6 ans et plus 4, plus de 15 ans et plus 10. Parce qu'une ligne droite a une et une seule pente. (Théorème 8.1 du Précalcul.)

Dans chaque ligne ci-dessus, le x -coördinate a augmenté de 1 unité. Dans la ligne de gauche, cependant, la valeur de y a augmenté beaucoup plus que dans la ligne de droite. La ligne de gauche a une pente plus importante que la ligne de droite. La valeur de y a changé à un rythme beaucoup plus rapide.

Si l'axe des x représente le temps et la distance de l'axe des y, comme c'est le cas dans de nombreuses applications, alors le taux de changement de y par rapport à x - de la distance par rapport au temps - est appelé vitesse ou vitesse. Autant de miles par heure, ou de mètres par seconde.

Quelle ligne disons-nous est en pente " vers le haut " ? Et lequel est en pente « vers le bas » ?

Puisque nous imaginons nous déplacer le long de l'axe des x de gauche à droite, nous disons que la ligne de gauche est en pente vers le haut et la ligne de droite, vers le bas.

De plus, une droite qui monte a une pente positive. Alors qu'une ligne qui descend a une pente négative.

Car, à la fois les coordonnées x et y de B sont supérieures aux coordonnées de A, de sorte que &Delta x et &Delta y sont tous deux positifs. Donc leur quotient, qui est la pente, est positif.

Mais tandis que le x -coördinate de D est supérieur au x -coördinate de C, de sorte que &Delta x est positif, le y -coördinaate de D est inférieur au y -coördinate de C. &Delta y , 5 &moins 8, est négatif . Ce quotient est donc négatif.

Exemple 1. Quel nombre est la pente de chaque droite ?

Vous devriez voir immédiatement qu'il s'agit d'une ligne de pente positive. Ne vous laissez pas berner par le x-coördinate &minus2. &Deltax est toujours positif. En fait, vous devriez toujours considérer &Deltax comme positif. Laissez &Deltay déterminer le signe.

La pente de cette droite est ½.

Vous devriez voir qu'il s'agit d'une ligne de pente négative. Sa valeur est &moins3.

Problème 1. Quel nombre est la pente de chaque droite ?

Pour voir la réponse, passez votre souris sur la zone colorée.
Pour couvrir à nouveau la réponse, cliquez sur « Actualiser » (« Recharger »).
Faites le problème vous-même d'abord !

une) b)
2
3
&moins1
c) ré)
4 &moins3
e)
0

Lignes horizontales et verticales

Quel nombre est la pente d'une ligne horizontale, c'est-à-dire une ligne parallèle à l'axe des x ? Et quelle est la pente d'une droite verticale ?

Une ligne horizontale a une pente de 0, car même si la valeur de x change, la valeur de y ne change pas. &Delta y = 0.

Une ligne verticale, cependant, n'a pas de pente. La pente indique comment le y -coördinate change lorsque le x -coördinate change. Mais le x -coördinate ne change pas. &Delta x = 0.

a) Quelles droites numérotées ont une pente positive ? 2 et 4.

b) Quelles droites numérotées ont une pente négative ? 1 et 3.

c) Quelle pente a la ligne horizontale 5 ? 0.

d) Quelle pente a la droite verticale 6 ? Il n'a pas de pente.

Exemple 2. Calculez la pente de la droite qui passe par les points (3, 6) et (1, 2).

Solution . Pour faire ce problème, voici à nouveau la définition de la pente. C'est ce numéro :

Par conséquent, la pente de la droite passant par ( 3 , 6 ) et ( 1 , 2 ) est :

&Delta y
&Delta x
= 6 &moins 2
3 &moins 1
= 4
2
= 2
1
= 2.

Remarque : Peu importe quel point nous appelons le premier et lequel le second. Mais si nous calculons &Delta y commençant par (3, 6), alors nous devons calculer &Delta x commençant également par (3, 6).

Quant à la signification de la pente 2 : Sur la droite qui relie ces deux points, pour chaque 1 unité la valeur de x change, la valeur de y changera de 2 unités. C'est le taux de variation de y par rapport à x . 2 pour chaque 1.

Problème 3. Calculez la pente de la droite qui relie ces points.

une) (1, 5) et (4, 17) b) (&moins3, 11) et (&moins5, 15)
17 &moins 5
4 &moins 1
= 12
3
= 4 _ 15 &moins 11 _
&moins5 &moins (&moins3)
= 4
&moins2
= &moins2.
c) (1, &moins1) et (&moins7, &moins5) ré) (2, &moins9) et (&moins2, &moins5)
&moins5 &moins (&moins1)
&moins7 &moins 1
= &moins4
&moins8
= ½ &moins9 &moins (&moins5)
2 &moins (&moins2)
= &moins4
4
= &moins1

est appelée la forme à l'origine de la pente de l'équation d'une droite. Car, comme nous pouvons le prouver (Sujet 9 du Précalcul) : a est la pente de la droite, et b est l'ordonnée à l'origine.

Problème 4. Quel nombre est la pente de chaque droite et quelle est la signification de chaque pente ?

La pente est de 5. Cela signifie que y augmente de 5 unités pour chaque 1 unité x augmente. C'est le taux de variation de y par rapport à x .

Cela signifie que y diminue de 2 unités pour chaque 3 unités de x ..

une) Écrivez l'équation de la droite dont la pente est de 3 et dont l'ordonnée à l'origine est 1.

b) Écrivez l'équation de la droite dont la pente est &moins1 et dont l'ordonnée à l'origine est &moins2.

c) Écrivez l'équation de la droite dont la pente est et qui passe par l'origine.
y = 2
3
X . L'ordonnée à l'origine b est 0.

Problème 6. Dans le problème 1, écris l'équation de chaque droite.

a) y = 2
3
x &moins 2. b) y = &moins x + 1.
c) y = 4 x + 2. d) y = &moins3 x &moins 3.
e) y = 0.

où A , B , C sont des nombres entiers (Leçon 2), est appelée la forme générale de l'équation d'une droite.

Problème 7. Quel nombre est la pente de chaque droite et quelle est la signification de chaque pente ?

Cette ligne est sous la forme générale. Ce n'est que lorsque la ligne est sous la forme d'une pente à l'origine, y = ax + b , que la pente est a . Par conséquent, en résolvant pour y : y = &moins x + 5. La pente est donc &moins1. Cela signifie que la valeur de y diminue d'une unité pour chaque unité que la valeur de x augmente.

5, incidemment, est b , l'ordonnée à l'origine.

b) 2 x &moins 3 y + 6 = 0
&moins3 ans = &moins2 x &moins 6
oui = 2
3
x + 2, en divisant chaque terme par &moins3.

la ligne passe, elle monte 2.

c) A x + B y + C = 0
Par = &moinsA x &moins C
oui = &moins UNE
B
X &moins C
B
, en divisant chaque terme par B.

Nous pouvons voir cela comme une formule pour la pente lorsque l'équation est sous la forme générale. Par exemple, si l'équation est

Lignes parallèles et perpendiculaires

Les droites seront parallèles si elles ont la même pente. Voici les équations de droites parallèles :

Ils ont la même pente 3.

Les droites seront perpendiculaires si

Si m est la pente d'une droite, alors une droite perpendiculaire a une pente &moins .

Pour être précis, si une ligne a une pente 4, alors chaque ligne qui lui est perpendiculaire a une pente &moins ¼ .

Problème 8. Lesquelles de ces droites sont parallèles et lesquelles sont perpendiculaires ?

a) y = 2 x + 3 b) y = &moins2 x + 3 c) y = ½ x + 3 d) y = 2 x &moins 3

a) et d) sont parallèles. b) et c) sont perpendiculaires.

Problème 9. Si une droite a une pente de 5, alors quelle est la pente d'une droite qui lui est perpendiculaire ?

Problème 10. Si une droite a une pente &moins , alors quelle est la pente d'une droite perpendiculaire ?

Problème 11. Si une droite a l'équation y = 6 x &moins 5, alors quelle est la pente d'une droite perpendiculaire ?

Théorème : Les pentes des droites perpendiculaires

Si deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre, alors le produit de leurs pentes est &moins1.

C'est-à-dire : Si la pente d'une droite est m , alors la pente de la perpendiculaire

Soit L 1 une droite, et soit la droite perpendiculaire L 2 croise L 1 au point A .

Soit L 1 de pente m 1 , et L 2 de pente m 2 . Supposons que m 1 soit positif. Alors m 2 , comme nous le verrons, doit être négatif.

Tracez une ligne droite AB de longueur 1 parallèle à l'axe des x, et tracez BC perpendiculairement à AB de longueur égale à m 1 .

Prolonger CB en ligne droite pour rejoindre L 2 en D .

Or, puisque la droite L 2 a une pente m 2 (théorème 8.1 du précalcul), la longueur de BD sera | m2 |. Car en allant de A à D sur L 2 , on dépasse 1 et on descend | m2 |.

C'est-à-dire que m 2 est un nombre négatif.

L'angle CAD est un angle droit. Donc l'angle a est le complément de l'angle ß .

Mais le triangle ABD est rectangle, et donc l'angle en D est aussi le complément de l'angle ß

donc l'angle en D est égal à l'angle a.

Les triangles rectangles ABC, ABD sont donc similaires (Thème 5 de Trigonométrie),

et les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels :

Mais m 2 est négatif. Donc,

C'est ce que nous voulions prouver.

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1 ) Sélectionnez deux points quelconques sur la ligne. (Choisissez des points avec des coordonnées entières pour vous faciliter la vie.)

2 ) Tracez une ligne verticale descendant du point le plus haut.

3 ) Tracez une ligne horizontale à partir de l'autre point afin qu'elle rencontre la ligne verticale.

4 ) Vous avez maintenant un triangle rectangle, appelé un triangle de pente. Trouvez les longueurs des jambes verticales et horizontales.

5 ) Divisez la longueur de la jambe verticale (la « montée ») par la longueur de la jambe horizontale (la « course »). Ce quotient est la pente de la droite.

La pente de la droite dans cet exemple est donc 1 3 .

Si l'angle droit est sur le côté gauche du triangle, la pente est négative.


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Mathématiques Mathématiques pré-calcul au Nebraska

Dans la section précédente, nous avons vu que les graphes d'équations linéaires à deux variables forment des droites. Lors de la représentation graphique de lignes, il existe deux caractéristiques déterminantes des graphiques : l'emplacement de la ligne dans le plan et la position de la ligne dans le plan. Dans cette section, nous nous intéressons principalement à la position des lignes dans le plan, c'est-à-dire à la pente de la ligne par rapport aux axes.

Dans cette section, vous le ferez.

identifier la pente d'une droite à partir de son graphique

calculer la pente d'une ligne étant donné deux points sur cette ligne

explorer les différentes possibilités géométriques des lignes, y compris les lignes verticales et horizontales

calculer le donné un scénario du monde réel modélisé par une équation linéaire

Sous-section Signification de la pente

L'inclinaison de n'importe quelle pente peut être mesurée comme le rapport entre le changement vertical et le changement horizontal. Par exemple, une inclinaison de (5)% peut être écrite sous la forme (frac<5><100> ext<,>) ce qui signifie que pour chaque 100 pieds vers l'avant, la hauteur augmente de 5 pieds.

En mathématiques, nous appelons l'inclinaison d'une ligne le , désigné par la lettre (m ext<.>) Le changement vertical s'appelle la montée et le changement horizontal s'appelle la course. Étant donné deux points ((x_1,y_1)) et ((x_2,y_2) ext<,>) nous pouvons obtenir la montée et la course en soustrayant les coordonnées correspondantes.

Cela nous amène à la formule de la pente. Étant donné deux points ((x_1,y_1)) et ((x_2,y_2) ext<,>) la pente est donnée par la formule suivante :

La lettre grecque delta ((Delta)) est souvent utilisée pour décrire le changement d'une quantité. Par conséquent, la pente est parfois décrite en utilisant la notation (frac ext<,>) qui représente le changement de (y) divisé par le changement de (x texte<.>)

Exemple 82

Trouver la pente de la droite passant par ((-3, -5)) et ((2, 1) ext<.>)

Étant donné ((-3, -5)) et ((2, 1) ext<,>) calculer la différence des valeurs (y) divisée par la différence des (x) -valeurs. Veillez à être cohérent lors de la soustraction des coordonnées.

La pente est donnée par (m=frac<6><5> ext<.>)

Peu importe le point que vous considérez comme le premier et le deuxième lors du calcul de la pente. Cependant, comme la soustraction n'est pas commutative, vous devez prendre soin de soustraire les coordonnées du premier point des coordonnées du deuxième point dans le même ordre. Pour démontrer cela, nous obtenons le même résultat dans l'exemple ci-dessus si nous appliquons la formule de pente avec les points intervertis.

Nous pouvons vérifier que la pente est (frac<6><5>) en traçant l'équation linéaire décrite dans l'exemple précédent.

Certes, le graphique est facultatif - la beauté de la formule de la pente est que, étant donné deux points quelconques, nous pouvons obtenir la pente en utilisant uniquement l'algèbre.

Exemple 83

Trouvez la valeur (y) pour laquelle la pente de la droite passant par ((6,-3)) et ((-9,y)) est (-frac<2><3 > exte<.>)

Remplacez les informations données dans la formule de la pente.

On a (m=-frac<2><3>) et on peut laisser ((x_1,y_1)=(6,-3)) et ((x_2,y_2)=(-9, y) exte<.>)

Après avoir remplacé les informations données, la seule variable restante est (y ext<.>) Résoudre pour (y ext<.>)

La valeur (y) qui satisfait les conditions ci-dessus est (y=7 ext<.>)

Il existe quatre cas géométriques pour la valeur de la pente.

En lisant le graphique de gauche à droite, les lignes avec une pente ascendante ont des pentes positives et les lignes avec une pente descendante ont des pentes négatives. Les deux autres cas concernent des lignes horizontales et verticales. Si (c) est un nombre réel on a

Par exemple, si nous représentons (y=2) nous obtenons une ligne horizontale, et si nous représentons (x=-4) nous obtenons une ligne verticale.

A partir des graphiques, nous pouvons déterminer deux points et calculer la pente en utilisant la formule de la pente.

Notez que les points sur la ligne horizontale partagent les mêmes valeurs (y). Par conséquent, la montée est nulle et donc la pente est nulle. Les points sur la ligne verticale partagent les mêmes valeurs (x). Par conséquent, la course est nulle, conduisant à une pente indéfinie. Ceux-ci nous donnent les deux derniers cas.

Sous-section Taux de variation moyen

Lorsqu'une situation du monde réel peut être représentée par une équation linéaire, la pente de la ligne est parfois appelée la moyenne . Par exemple, supposons que nous ayons représenté graphiquement la distance (en miles) parcourue par une voiture au fil du temps (en heures). Si la voiture roule à une vitesse constante, elle formera une ligne droite. La pente de cette ligne mesurerait le taux moyen de changement de la distance de la voiture par rapport au temps, en d'autres termes, la pente mesure la vitesse de la voiture.

Considérons l'équation (C=4+2t) représentant le coût d'une location de film en termes de nombre de jours de location. Si nous représentons graphiquement cette équation, nous pouvons choisir deux points quelconques sur la ligne pour calculer sa pente. Par exemple, si nous choisissons les points ((0,4)) et ((4,12)) alors nous avons la pente suivante.

La pente de la ligne est (2 ext<.>) En termes de location de film, notre expression de pente nous dit

En d'autres termes, si nous devions augmenter la durée de la location de (4) jours, le coût de la location augmenterait de (8) dollars. La pente donne le taux d'augmentation des frais de location, ($2) par jour.

En général, nous disons que la pente d'une ligne ou d'une équation mesure le taux de variation de la variable de sortie par rapport à la variable d'entrée. Selon les unités concernées, ce taux peut être interprété comme un taux de croissance ou un taux de vitesse. Une pente négative peut représenter un taux de diminution ou un taux de consommation. La pente, ou le taux de variation, d'un graphique peut nous donner des informations précieuses sur les variables.

Exemple 84

Nathan est allé faire de la randonnée et a pris un mélange montagnard. Après avoir parcouru (2,5) milles, il avait mangé (3) onces de mélange montagnard. En moyenne, combien d'onces de mélange montagnard Nathan a-t-il mangé par kilomètre ?

La quantité de mélange montagnard que Nathan a mangé dépend de la distance parcourue. Cela nous indique que la variable indépendante est la distance qu'il a parcourue, en miles, et la variable dépendante est les onces de mélange montagnard. Nous recherchons le taux moyen de variation des onces de mélange montagnard par mile.

Cela nous indique que Nathan a mangé (1.2) onces de mélange montagnard par mile lors de sa randonnée.


Voir la vidéo: euclidea - All Stars (Décembre 2021).